命題３１
任意の合成数はある素数によって割り切られる。
Aを合成数とする。
Aがある素数によって割り切られることをいう。
Aが合成数であるから、それゆえにある数BがAを割り切る。definitionⅦ．１３
さて、Bが素であるならば、計画されたものはなされている。
しかしBが合成数であるならば、ある数がBを割り切る。数CがBを割り切るとする。definitionⅦ．１３
CがBを割り切り、BがAを割り切るから、それゆえにCもまたAを割り切る。そしてCが素であるならば、計画されたものはなされている。しかしCが合成数であるならば、ある数がCを割り切る。このように、調査がこの方法で続けられるのならば、ある素数はその前の数を割り切り、Aもまた割り切る数を見つけるだろう。それが見つけられないのならば、数の無限の連続が、数において不可能である、他より少ない数のそれぞれで、数Aを割り切る。
それゆえにある素数がその前の数を割り切り、またAも割り切ることを見つけられるだろう。
それゆえに任意の合成数はある素数によって割り切られる。
それゆえに、任意の合成数はある素数によって割り切られる。
証明終了